МЖА (Rail-Club.ru)

каким поездом добраться до Бургаса? сколько будет стоить проезд взрослого человека и ребенка 9 лет?

в июне будет курсировать поезд 59 Москва-София, в нем будут вагоны до Бургаса.
тарифы здесь:
http://www.rail-club.ru/content/view/143/31/

а с какого числа начнут ходить эти поезда?

Опыт прошлых лет показывает, что в первую декаду июня начинают. Как в этом году - пока неясно, нового расписания пока нет.

В принципе, даже если вагона до Бургаса не будет,

то можно будет доехать с пересадкой в Русе с ВБС из поезда №3 или летнего поезда 59 Москва-София на местные болгарские поезда.