Пытаюсь купить билет на 13ый поезд на июнь (продажа на эти даты уже открыта), но его попросту не видно на сайте РЖД.

Вопрос к знатокам - поезд будет этим летом или нет? Если да, то с какого числа?

читайте Где 13-й поезд на июнь
там есть ответ на ваш вопрос.